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問答題 試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式

1.問答題 求標(biāo)量函數(shù)Ψ=x²yz的梯度及Ψ在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量定出；求（2，3，1）點的方向?qū)?shù)值。

2.問答題給定矢量函數(shù)E=e_xy+e_yx，試求從點P1（2，1，-1）到點P2（8，2，-1）的線積分∫E·dl：（1）沿拋物線x=y²；（2）沿連接該兩點的直線。這個E是保守場嗎？

3.問答題一徑向矢量場F=e_rf（r）表示，如果▽·F=0，那么函數(shù)f（r）會有什么特點呢？

4.問答題 證明：
（1）▽·R=3；
（2）▽×R=0；
（3）▽（A·R）=A。
其中R=e_xx+e_yy+e_zz，A為一常矢量。

5.問答題求矢量A=e_xx+e_yx²y沿圓周x²+y²=a²的線積分，再計算▽×A對此圓面積的積分。