案情：呂北克與同村村民羅嚴塔素有矛盾。2017年6月，呂北克與羅嚴塔因瑣事爭吵后扭打起來，呂北克的腿被羅嚴塔用鐵鍬砍傷，后各自回家。當天夜里，羅嚴塔失蹤。
一周后，有人在呂北克家附近的枯井里發(fā)現(xiàn)一具尸體，經(jīng)鑒定系羅嚴塔，死因系頭部鈍器傷。公安機關(guān)認為呂北克有重大嫌疑，遂對其予以拘留，并在未取得搜查證的情況下對呂北克家進行搜查，找到并扣押了一把砍柴用的斧子，但上面沒有血跡或人體組織。
呂北克在前兩次接受訊問時，均否認殺害羅嚴塔，但其因腿部傷口潰爛發(fā)炎，向偵查人員提出醫(yī)治申請，偵查人員不予理睬，致其傷情加重，疼痛難忍。在第三次接受訊問時，偵查人員告知其如果承認就予以治療，呂北克不得已承認殺害羅嚴塔。第四次訊問時，公專機關(guān)更換了偵查人員，并將訴訟權(quán)利和認罪的法律后果告知呂北克，呂北克仍供述殺害羅嚴塔。呂北克的妻子方秋林在三次接受公安機關(guān)詢問時，均稱呂北克在被羅嚴塔砍傷后一直在家中養(yǎng)傷，再未出門。后公安機關(guān)將方秋林非法拘禁了二十多個小時，方秋林改稱當天夜里呂北克曾單獨出去。

李某系K市一養(yǎng)豬場老板，因其養(yǎng)殖場未依法辦理建設(shè)項目環(huán)境影響登記表的備案，便動工建設(shè)、開始養(yǎng)豬，被K市環(huán)境保護局處以4萬元罰款。李某不服，準備提起行政復(fù)議；并請托朋友找到K市政府工作人員張某，私下給張某2萬元，希望其可以在幫忙走動，在行政復(fù)議中撤銷對其處罰。張某收下了李某的錢，但復(fù)議維持了對其的處罰。李某心生不滿，6月2日將張某約至其車上理論。當晚張某失蹤，家人報案，6月4日張某尸體被發(fā)現(xiàn)在離張某家不遠處的河邊。偵查機關(guān)排查線索中，得知李某與張某近期發(fā)生矛盾，6月5日對李某立案偵查。
后K市檢察院以李某故意殺人罪提起公訴，并提供如下證據(jù)：
1.李某的供述：“2號我把張某約到車上，我在駕駛位，他坐在副駕駛，我問他要給他的2萬元，他不給，說雖然沒有辦成，但是他到處幫我問人，這個錢算他的辛苦費。不僅如此，他還問我接著要錢，說不然的話，就繼續(xù)讓環(huán)保局的去想辦法查我。我越聽越生氣，表面上答應(yīng)他，說要去后備箱取下錢，實際上我到后備箱拿了養(yǎng)豬場的套豬器，然后從后排座位把他勒死在了副駕駛上。然后我開車到了河邊，把他尸體扔進去。
2.洗車店員工丁一的證言：6月3號一大早李某就來洗車了，并且車外部很干凈，只是讓我們使勁沖洗副駕駛。我們覺得很奇怪，懷疑是不是昨天半夜在車里有兇殺，在清洗現(xiàn)場。
3.飯店服務(wù)員大可的證言：6月2日中午，李某和張某來飯店吃飯，兩個人喝了兩斤多白酒，明顯喝高了，走路搖搖晃晃。
4.偵查人員在李某養(yǎng)豬場搜查所得的一把套豬器，但由于疏忽未附提取筆錄。
5.法醫(yī)死亡鑒定：張某系機械性窒息導(dǎo)致的死亡，因尸體浸泡較久，無法判斷具體致死方式，不排除溺亡或被人縊頸的可能。
在庭審中，李某翻供并提出其口供是遭受非法取證所得，事實上在其與張某在車上理論后，張某答應(yīng)歸還李某私下送給的2萬元，于是二人重歸于好，李某還請張某至飯店共同吃飯、飲酒，張某還戲稱“買賣不成仁義在”。飯后李某提出送張某回家，張某提出自己離家不遠，想走回去，到河邊散散步醒醒酒。于是二人在飯店分開，各自回家。李某自己開車回家，途中因飲酒過量而嘔吐在副駕駛上，所以才前往洗車。
李某向法院陳述了偵查人員趙某于6月6日對其訊問時的非法取證過程，趙某表示，如若李某不承認犯罪，便將其第二天要參加高考的兒子一并抓起來。李某辯護人申請排除非法證據(jù)。人民檢察院播放了訊問李某時的全程錄像，但錄像只有畫面沒有聲音。人民法院認為取證手段合法性存疑，確有必要通知該案偵查人員出庭，但偵查人員以有公務(wù)在身為由，并未到庭，提供了其本人簽名、公安局蓋章的情況說明。
請根據(jù)現(xiàn)有證據(jù)及相關(guān)法律規(guī)定，分析法院應(yīng)當如何做出判決？