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問答題甲口袋有1個黑球，2個白球，乙口袋有3個白球.每次從兩個口袋中各任取一球，交換后，放入另一個口袋，求交換𝑛次粶，黑球仍在甲口袋中的概率.

1.問答題設(shè)𝐴和𝐵為兩個隨機事件，試證明下述命題：若對任意正概率隨機事件𝐶有𝑃（𝐴𝐵|𝐶）=𝑃（𝐴|𝐶）·（𝐵|𝐶），則𝐴與𝐵相互獨立.該命題的逆命題是否成立？

2.問答題設(shè)0<𝑃（𝐴）<1，0<𝑃（𝐵）<1，試證：𝐴與𝐵相互獨立的充要條件是𝑃（𝐴|𝐵）+𝑃（𝐴¯|𝐵¯）=1.

3.問答題 有𝑛個人各填寫一份登記表并交一張照片.現(xiàn)在把登記表和照片任意地裝入𝑛個有姓名的檔案袋中（每袋中只允許裝一份登記表及一張照片）。

恰有𝑟袋（1≤𝑟≤𝑛）的登記表和照片都裝對的概率𝑃_r（𝑛），并證明：

4.問答題有𝑛個人各填寫一份登記表并交一張照片.現(xiàn)在把登記表和照片任意地裝入𝑛個有姓名的檔案袋中（每袋中只允許裝一份登記表及一張照片）。求：沒有一袋的登記表及照片都裝對的概率𝑃₀（𝑛）.

5.問答題一個袋子中有紅、黃、黑、白球個三個，從中任取5個，求至少有一種顏色的球未取到的概率.